Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)g（x）=f′（x）+6x是偶函數(shù)
（1）求m、n的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)g（x）=f′（x）+6x是偶函數(shù)，構(gòu)造關(guān)于m、n的方程組，解方程組可得m、n的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法，分析函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過點(diǎn)（-1，-6），
∴-1+m-n-2=-6，即m-n+3=0…①，
又由g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n是偶函數(shù)，
故2m+6=0…②
由①②得，m=-3，n=0
（2）由（1）得f（x）=x³-3x²-2，
故f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
當(dāng)x∈[-1，0）時，f′（x）＞0，故y=f（x）在區(qū)間[-1，0）上遞增，
當(dāng)x∈（0，2]時，f′（x）≤0，故y=f（x）在區(qū)間（0，2]上遞減，
又由f（-1）=-6，f（2）=-6，
故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最小值為-6

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．