Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-px+1，
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)p＞0時(shí)，若對任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范圍；
（Ⅲ）證明：

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜n-1-

n-1

2(n+1)

（n∈N，n≥2）．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=

1

x

-p=

1-px

x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)列表討論能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）當(dāng)p＞0時(shí)，在x=

1

p

取得極大值f（

1

p

）=ln

1

p

，此極大值也是最大值，由此能求出p的取值范圍．
（Ⅲ）令p=1，由lnx-x+1≤0，得

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

，由此能證明

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜n-1-

n-1

2(n+1)

（n∈N，n≥2）．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=lnx-px+1，∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=

1

x

-p=

1-px

x

，
當(dāng)p≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增，
當(dāng)p＞0時(shí)，令f′（x）=0，∴x=

1

p

∈（0，+∞），
f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0， 1 p ）	1 p	（ 1 p ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

從上表可以看出：
當(dāng)P＞0時(shí)，f（x）在（0，

1

p

）單調(diào)遞增，在（

1

p

，+∞）單調(diào)減．
（Ⅱ）當(dāng)p＞0時(shí)，在x=

1

p

取得極大值f（

1

p

）=ln

1

p

，
此極大值也是最大值．
要使f（x）≤0恒成立，只需f（

1

p

）=ln

1

p

≤0，
∴p≥1，∴p的取值范圍是[1，+∞）．
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知lnx-x+1≤0，
∴l(xiāng)nx≤x-1，∵n∈N，n≥2，
∴l(xiāng)nn²≤n²-1，
∴

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

，
∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

≤（1-

1

22

）+（1-

1

32

）+…+（1-

1

n2

）
=（n-1）-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）
＜（n-1）-[

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

]
=（n-1）-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=(n-1)-(

1

2

-

1

n+1

)
=n-1-

n-1

2(n+1)

，
∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜n-1-

n-1

2(n+1)

（n∈N，n≥2）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．