Question

若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：（i）直線l在點P（x₀，y₀）處與曲線C相切；（ii）曲線C在P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點P處“切過”曲線C．
下列命題正確的是

 

 （寫出所有正確命題的編號）
①直線l：y=0在點P（0，0）處“切過”曲線C：y=x³
②直線l：x=-1在點P（-1，0）處“切過”曲線C：y=（x+1）²
③直線l：y=x在點P（0，0）處“切過”曲線C：y=sinx
④直線l：y=x-1在點P（1，0）處“切過”曲線C：y=lnx，
⑤若直線l在點P（x₀，f（x₀））處“切過”曲線C：f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），則x₀=-

b

3a

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：新定義,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：分別求出每一個命題中曲線C的導(dǎo)數(shù)，得到曲線在點P處的導(dǎo)數(shù)值，求出曲線在點P處的切線方程，再由曲線在點P兩側(cè)的函數(shù)值與對應(yīng)直線上點的值的大小判斷是否滿足（ii），則可判斷①③正確；②④錯，
而⑤，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，說明切線的斜率存在，由曲線C在P附近位于直線l的兩側(cè)，則曲線C關(guān)于點P對稱，
運用f（x）滿足f（m+x）+f（m-x）=2n，則f（x）關(guān)于點（m，n）對稱，求出m即可判斷正確．

解答： 解：對于①，由y=x³，得y′=3x²，則y′|_x=0=0，直線y=0是過點P（0，0）的曲線C的切線，
又當(dāng)x＞0時y＞0，當(dāng)x＜0時y＜0，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=0兩側(cè)，故命題①正確；
對于②，由y=（x+1）²，得y′=2（x+1），則y′|_x=-1=0，
而直線l：x=-1的斜率不存在，在點P（-1，0）處不與曲線C相切，故命題②錯誤；
對于③，由y=sinx，得y′=cosx，則y′|_x=0=1，直線y=x是過點P（0，0）的曲線的切線，
又x∈（-

π

2

，0）時x＜sinx，x∈（0，

π

2

）時x＞sinx，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側(cè)，
故命題③正確；
對于④，由y=lnx，得y′=

1

x

，則y′|_x=1=1，曲線在P（1，0）處的切線為y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-

1

x

，當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，
g′（x）＞0．則g（x）在（0，+∞）上有極小值也是最小值，為g（1）=0．
即y=x-1恒在y=lnx的上方，不滿足曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè)，故命題④錯誤；
對于⑤，f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），得f′（x）=3ax²+2bx+c，
則切線的斜率為f′（x₀）=3ax₀²+2bx₀+c存在，又曲線C在P附近位于直線l的兩側(cè)，則曲線C關(guān)于點P對稱，
設(shè)對稱點為（m，n），則f（m+x）+f（m-x）=2n，化簡得（3ma+b）x²+am³+bm²+cm+d-n=0，上式對x∈R恒成立，
則3ma+b=0，即m=-

b

3a

，則有x₀=-

b

3a

，故命題⑤正確．
故答案為：①③⑤

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究在曲線上某點處的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查三次函數(shù)的對稱中心，該題是中檔題．