Question

18．已知f（x）=xe^x-ax²-x．
（1）若f（x）在（-∞，-1]上遞增，[-1，0]上遞減，求f（x）的極小值；
（2）若x≥0時(shí)，恒有f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)f′（x）=e^x+xe^x-2ax-1，再由題意可得f′（-1）=e^-1-e^-1+2a-1=0，從而求得2a=1，從而化簡(jiǎn)f′（x）=e^x+xe^x-x-1=（x+1）（e^x-1），從而確定極小值點(diǎn)及極小值．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0恒成立，從而化恒成立問題為x＞0時(shí)，恒有f（x）≥0；即a≤$\frac{{e}^{x}-1}{x}$在x＞0時(shí)恒成立，從而令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，再由洛必達(dá)法則求出$\underset{lim}{x→0}$g（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$e^x=1；從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=xe^x-ax²-x，
∴f′（x）=e^x+xe^x-2ax-1，
又∵f（x）在（-∞，-1]上遞增，[-1，0]上遞減，
∴f′（-1）=e^-1-e^-1+2a-1=0，
故2a=1，
故f′（x）=e^x+xe^x-x-1=（x+1）（e^x-1），
故f（x）在（-∞，-1]，[0，+∞）上遞增，[-1，0]上遞減；
故f（x）在x=0處取得極小值f（0）=0；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0恒成立，
故x≥0時(shí)，恒有f（x）≥0可化為
x＞0時(shí)，恒有f（x）≥0；
即x＞0時(shí)，xe^x-ax²-x≥0恒成立，
即a≤$\frac{{e}^{x}-1}{x}$在x＞0時(shí)恒成立，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
則g′（x）=$\frac{{xe}^{x}-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=xe^x-e^x+1，
則h′（x）=xe^x＞0，
故h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故h（x）＞h（0）=0，
故g′（x）=$\frac{{xe}^{x}-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$＞0，
故g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而$\underset{lim}{x→0}$g（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$e^x=1；
故a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，同時(shí)考查了構(gòu)造函數(shù)的思想應(yīng)用及洛必達(dá)法則的應(yīng)用，屬于難題．