Question

15．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}x+{a}^{2}-k（x≥0）}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}+4a）x+（2-a）^{2}（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a∈R，若對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁）成立，則k的取值范圍為（　�。�

• A． [-20，-4]
• B． [-30，-9]
• C． [-4，0]
• D． [-9，-4]

Answer 1

分析 若對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁）成立，則二次函數(shù)h（x）=x²+（a²+4a）x+（2-a）²的對(duì)稱(chēng)軸不能在y軸左側(cè)，且函數(shù)h（x）與g（x）=k²x+a²-k的圖象與y軸交于同一點(diǎn)，進(jìn)而得到答案．

解答 解：令g（x）=k²x+a²-k，
h（x）=x²+（a²+4a）x+（2-a）²，
若對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
則二次函數(shù)h（x）的對(duì)稱(chēng)軸不能在y軸左側(cè)，且兩個(gè)函數(shù)圖象與y軸交于同一點(diǎn)，
即$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+4a≤0\\{a}^{2}-k=（2-a）^{2}\end{array}\right.$，
解得：a∈[-4，0]，k∈[-20，-4]．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分段函數(shù)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．