Question

18．已知θ為鈍角，且cos（$\frac{π}{4}$-θ）cos（$\frac{π}{4}$+θ）=$\frac{1}{8}$．求tanθ的值．

Answer 1

分析 由誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)已知的式子，由θ的范圍和二倍角的余弦公式變形，列出方程求出sinθ、cosθ的值，由商的關(guān)系求出tanθ的值．

解答 解：∵（$\frac{π}{4}$-θ）+（$\frac{π}{4}$+θ）=$\frac{π}{2}$，
∴cos（$\frac{π}{4}$-θ）cos（$\frac{π}{4}$+θ）=$\frac{1}{8}$可化為：
cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{4}$+θ）]cos（$\frac{π}{4}$+θ）=$\frac{1}{8}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$+θ）cos（$\frac{π}{4}$+θ）=$\frac{1}{8}$，則sin（$\frac{π}{2}$+2θ）=cos2θ=$\frac{1}{4}$，
∴cos2θ=1-2sin²θ=2cos²θ-1=$\frac{1}{4}$，
解得sin²θ=$\frac{3}{8}$，cos²θ=$\frac{5}{8}$，
∵θ為鈍角，∴sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，cosθ=-$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦函數(shù)，二倍角的余弦公式變形的應(yīng)用，注意角之間的關(guān)系和角的范圍．