Question

3．對于函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+4）
（1）若f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1]，求實(shí)數(shù)a的值；
（4）若f（x）在（-∞，1]上遞增，求數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x²-2ax+4＞0恒成立，列出不等式解出；
（2）令（0，+∞）為y=x²-2ax+4的值域的子集，列不等式解出；
（3）令y=x²-2ax+4的最小值等于2，列方程解出；
（4）令y=x²-2ax+4在（-∞，1]恒大于0且單調(diào)遞減，列不等式組解出．

解答 解：（1）∵f（x）的定義域?yàn)镽，∴x²-2ax+4＞0恒成立，
∴△=4a²-16＜0，解得-2＜a＜2．
（2）∵f（x）的值域?yàn)镽，∴（0，+∞）為y=x²-2ax+4的值域的子集．
∴△=4a²-16≥0，解得a≤-2或a≥2．
（3）∵f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1]，
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+4）≤-1．即x²-2ax+4≥2恒成立，
∴y=x²-2ax+4的最小值為2．即$\frac{16-4{a}^{2}}{4}$=2，解得a=$±\sqrt{2}$．
（4）∵f（x）在（-∞，1]上遞增，
∴y=x²-2ax+4在（-∞，1]上遞減，且y=x²-2ax+4在（-∞，1]上恒大于0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{5-2a＞0}\end{array}\right.$，解得1＜a＜$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．