Question

10．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為A_n，對于任意正整數(shù)n，A_n=a_n+1，并且$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=-3，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 對于任意正整數(shù)n，A_n=a_n+1，當(dāng)n≥2時(shí)，A_n-1=a_n，可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2．n=1時(shí)，a₁=a₂．因此數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，公比為2．根據(jù)$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=-3，可得$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{\frac{1}{{a}_{2}}}{1-\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}}$=-3，解出即可得出．

解答 解：∵對于任意正整數(shù)n，A_n=a_n+1，
∴n≥2時(shí)，A_n-1=a_n，
相減可得：a_n=a_n+1-a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2．
n=1時(shí)，a₁=a₂．
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，公比為2．
∵$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=-3，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{\frac{1}{{a}_{2}}}{1-\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}}$=-3，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$=-3，
解得a₂=a₁=-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{-{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其極限性質(zhì)、遞推關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．