Question

2．在數列{a_n}中，a₁=a，a∈Z，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}^{2}-5，{a}_{n}為奇數}\\{\frac{{a}_{n}}{2}，{a}_{n}為偶數}\end{array}\right.$．
（1）若a=1，求a₂，a₃，a₄；
（2）若?n∈N^*，均有a_n+3=a_n成立，求滿足題意的整數a構成的集合．

Answer 1

分析 （1）由a₁=a=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}^{2}-5，{a}_{n}為奇數}\\{\frac{{a}_{n}}{2}，{a}_{n}為偶數}\end{array}\right.$．代入可得a₂，a₃，a₄；
（2）對a進行分類討論，求出使?n∈N^*，均有a_n+3=a_n成立的a值，綜合討論結果，可得答案．

解答 解：（1）∵a₁=a=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}^{2}-5，{a}_{n}為奇數}\\{\frac{{a}_{n}}{2}，{a}_{n}為偶數}\end{array}\right.$．
∴a₂=-4，
a₃=-2，
a₄=-1，
（2）①若a為奇數，
則a₂=a²-5為4的整數倍，
則a₃=$\frac{1}{2}$（a²-5）為偶數，
則a₄=$\frac{1}{4}$（a²-5）=a，
解得：a=5，或a=-1，
經檢驗：a=5，a=-1，均滿足?n∈N^*，均有a_n+3=a_n成立，
②若a為偶數，且為8的整數倍，
則a₂=$\frac{1}{2}$a為4的整數倍，
a₃=$\frac{1}{4}$a為偶數，
則a₄=$\frac{1}{8}$a=a，
解得：a=0，
經檢驗：a=0，滿足?n∈N^*，均有a_n+3=a_n成立，
③若a為偶數，且為4的整數倍，但不是8的整數倍，
則a₂=$\frac{1}{2}$a為偶數，但不是4的整數倍，
a₃=$\frac{1}{4}$a為奇數，
則a₄=$\frac{1}{16}$a²-5=a，
解得：a=20，或a=-4，
經檢驗：a=20，a=-4，均滿足?n∈N^*，均有a_n+3=a_n成立，
④若a為偶數，且不為4的整數倍，
則a₂=$\frac{1}{2}$a為奇數，
a₃=$\frac{1}{4}$a²-5為偶數，
則a₄=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$a²-5）=a，
解得：a=10，或a=-2，
經檢驗：a=10，a=-2，均滿足?n∈N^*，均有a_n+3=a_n成立，
綜上所述：a_n+3=a_n成立時，a∈{-4，-2，-1，0，5，10，20}

點評 本題考查的知識點是分類討論思想，數列的遞推式，難度中檔．