Question

1．設(shè)命題p：直線mx-y+1=0與圓（x-2）²+y²=4有公共點(diǎn)；設(shè)命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示雙曲線．
（1）若“p∧q”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 求出p，q成立的等價(jià)條件，
（Ⅰ）若“p∧q”為真命題，則p真q真，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p、q一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，求出m的取值范圍，當(dāng)p假q真時(shí)，求出m的取值范圍，然后取并集即可得答案．

解答 解：若命題p：直線mx-y+1=0與圓（x-2）²+y²=4有公共點(diǎn)是真命題，
則圓心（2，0）到直線mx-y+1=0的距離不大于半徑，
即$\frac{|2m+1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}≤2$，
解得：$m≤\frac{3}{4}$．
∴命題p真時(shí)，$m≤\frac{3}{4}$．
命題p假時(shí)，$m＞\frac{3}{4}$．
命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示雙曲線是真命題，
則（m-1）（2-m）＜0，解得m＜1或m＞2．
命題q假時(shí)，1≤m≤2．
（1）若“p∧q”為真命題，則p真q真，∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{3}{4}}\\{m＜1或m＞2}\end{array}\right.$，解得m≤$\frac{3}{4}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（-∞，$\frac{3}{4}$]；
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p、q一真一假，
當(dāng)p真q假時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{3}{4}}\\{1≤m≤2}\end{array}\right.$，不存在滿足條件的m值．
當(dāng)p假q真時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{3}{4}}\\{m＜1或m＞2}\end{array}\right.$，解得$\frac{3}{4}＜m＜1$．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（$\frac{3}{4}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了直線與圓的位置關(guān)系，雙曲線的定義，復(fù)合命題等知識(shí)點(diǎn)，是中檔題．