Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R，已知f（x）在x=3處取得極值，
（Ⅰ）求f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（3）=0，解方程可得a的值，即可得到切線的斜率，以及切點(diǎn)，以及切線的方程；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
f（x）在x=3處取得極值，可得f′（3）=54-18（a+1）+6a=0，
解得a=3，
可得f′（x）=6x²-6×4x+6×3，
即有f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線斜率為k=0，
f（1）=2-12+18+8=16，
切點(diǎn)為（1，16），
f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程為y=16；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=6x²-24x+18，
由f′（x）＞0，可得x＞3或x＜1；
由f′（x）＜0，可得1＜x＜3；
即有f（x）的減區(qū)間為（1，3），增區(qū)間為（-∞，1），（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．