Question

9．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，ab=$\frac{2}{3}$c²，則∠C等于（　�。�

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得a+b=$\sqrt{3}c$，結(jié)合已知ab=$\frac{2}{3}$c²，可求a²+b²=$\frac{5{c}^{2}}{3}$，利用余弦定理可得cos∠C=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍∠C∈（0，180°），即可得解∠C=60°．

解答 解：在△ABC中，∵sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，
∴由正弦定理可得：a+b=$\sqrt{3}c$，兩邊平方可得：a²+b²=3c²-2ab，
又∵ab=$\frac{2}{3}$c²，
∴a²+b²=3c²-2×$\frac{2}{3}$c²=$\frac{5{c}^{2}}{3}$，
∴由余弦定理可得：cos∠C=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\frac{5{c}^{2}}{3}-{c}^{2}}{2×\frac{2{c}^{2}}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠C∈（0，180°），
∴∠C=60°．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．