Question

20．在△ABC中，（5a-4c）cosB-4bcosC=0．
（1）求cosB的值；
（2）若c=5，b=$\sqrt{10}$，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理邊化角，使用和角公式化簡即可得出cosB；
（2）利用余弦定理計算a，在代入面積公式S=$\frac{1}{2}acsinB$即可求出面積．

解答 解：（1）∵（5a-4c）cosB-4bcosC=0．
∴5sinAcosB=4sinCcosB+4sinBcosC=4sin（B+C）=4sinA，
∴cosB=$\frac{4}{5}$．
（2）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{{a}^{2}+15}{10a}$=$\frac{4}{5}$，解得a=3或a=5．
∵cosB=$\frac{4}{5}$，∴sinB=$\frac{3}{5}$．
∴當a=3時，S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×3×5×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{2}$，
當a=5時，S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×5×5×\frac{3}{5}$=$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查了正弦定理，余弦定理解三角形，三角形的面積公式，屬于中檔題．