Question

如圖所示的矩形ABCD中，BC=2AB，M是AD的中點(diǎn)，以BM為折痕將△ABM向上折起，使得平面ABM⊥平面BCDM．
（1）證明：AB⊥平面AMC；
（2）已知AB=2，求四棱錐A-BCDM的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）推CM⊥AB，AB⊥AM，證明AB⊥平面AMC；（2）梯形BCDM中解面積，高為AO，從而求出體積．

解答： 解：（1）證明：設(shè)AB=a，BC=2a，由題意BM=CM=

2

a；
則BM²+CM²=BC²，即BM⊥CM．
而平面ABM⊥平面BCDM，BM是平面ABM與平面BCDM的交線，
∴CM⊥平面ABM，AB⊆平面ABM
∴CM⊥AB，
∴CM⊥AB，又∵AB⊥AM
∴AB⊥平面AMC．
（2）在△BCM中，AB=AM=2，O為BM的中點(diǎn)
∴AO⊥BM，
平面ABM⊥平面BCDM，AO⊥平面BCDM，AO=

2

，
在梯形BCDM中，DM=CD=2，BC=4，S=

1

2

•6•2=6
V_A-BCDM=

1

3

×S×AO=

1

3

×6×

2

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直關(guān)系的證明，屬于基礎(chǔ)題．