Question

已知數(shù)列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…

1

n(n+1)

，…，計(jì)算S₁，S₂，S₃，由此推測(cè)計(jì)算S_n的公式，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專(zhuān)題：計(jì)算題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,推理和證明

分析：S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

3

=

2

3

，S₃=1-

1

4

=

3

4

，猜想：S_n=1-

1

n+1

；利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： 解：S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

=

2

3

，S₃=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=

3

4

，猜測(cè)S_n=

n

n+1

．
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，S₁=

1

2

，S₁=

1

1×2

，等式成立，
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，S_k=

k

k+1

成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=S_k+

1

(k+1)(k+2)

=

k

k+1

+

1

k+1

-

1

k+2

=1-

1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
故對(duì)n∈N*，測(cè)S_n=

n

n+1

都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，證明故當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．