Question

9．已知f（x）=$\frac{{2+ln{x^2}}}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式e^x（2x³-3x²）-lnx-ax＞1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解單調(diào)區(qū)間即可．
（2）由不等式e^x（2x³-3x²）-lnx-ax＞1恒成立，得到${e^x}（2{x^2}-3x）-a＞\frac{lnx+1}{x}$恒成立，設(shè)$g（x）={e^x}（2{x^2}-3x）-a，h（x）=\frac{lnx+1}{x}$，求出$g'（x）={e^x}（2{x^2}+x-3）={e^x}（2x+3）（x-1），h'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$
利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可求解a的范圍．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{{2+ln{x^2}}}{x}$得：$f'（x）=\frac{{\frac{2}{x}x-2-ln{x^2}}}{x^2}=\frac{{-ln{x^2}}}{x^2}$
由于定義域為{x|x≠0}，
所以由y'＞0得：0＜x＜1或-1＜x＜0
所以由y'＜0得：x＜-1或x＞1
即得函數(shù)在區(qū)間（0，1），（-1，0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）由不等式e^x（2x³-3x²）-lnx-ax＞1恒成立，
即${e^x}（2{x^2}-3x）-a＞\frac{lnx+1}{x}$恒成立
設(shè)$g（x）={e^x}（2{x^2}-3x）-a，h（x）=\frac{lnx+1}{x}$得：
$g'（x）={e^x}（2{x^2}+x-3）={e^x}（2x+3）（x-1），h'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，
因為它們的定義域（0，+∞），所以易得：
函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增；
函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減；
這兩個函數(shù)在x=1處，g（x）有最小值，h（x）有最大值，
所以要使不等式${e^x}（2{x^2}-3x）-a＞\frac{lnx+1}{x}$恒成立，
則只需滿足$e（2-3）-a＞\frac{ln1+1}{1}$，即a＜-1-e．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．