Question

4．已知$\overrightarrow a=（{sin\frac{ω}{2}x，sinωx}），\overrightarrow b=（{sin\frac{ω}{2}x，\frac{1}{2}}）$，其中ω＞0，若函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有零點，則ω的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，\frac{1}{8}}]$
• B． $（{0，\frac{5}{8}}]$
• C． $（{0，\frac{1}{8}}]∪[{\frac{5}{8}，1}]$
• D． $（{0，\frac{1}{8}}]∪[{\frac{1}{4}，\frac{5}{8}}]$

Answer 1

分析 利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的零點以及函數(shù)的周期，列出不等式求解即可．

解答 解：$\overrightarrow a=（{sin\frac{ω}{2}x，sinωx}），\overrightarrow b=（{sin\frac{ω}{2}x，\frac{1}{2}}）$，其中ω＞0，
則函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$=sin²（$\frac{ω}{2}$x）+$\frac{1}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosωx+$\frac{1}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$），
可得T=$\frac{2π}{ω}$≥π，0＜ω≤2，f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有零點，結(jié)合三角函數(shù)可得，
$\left\{\begin{array}{l}{πω-\frac{π}{4}≥0}\\{2πω-\frac{π}{4}≤π}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{πω-\frac{π}{4}≥π}\\{2πω-\frac{π}{4}≤2π}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$≤ω≤$\frac{5}{8}$或0＜ω≤$\frac{1}{8}$，
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，三角函數(shù)的化簡求值，考查計算能力．