Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F(xiàn)是AB的中點．
（Ⅰ） 求證：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）求證：平面PDF⊥平面PAB；
（Ⅲ）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取PD的中點M，由三角形的中位線定理，結(jié)合已知條件，易證明四邊形MEBF是平行四邊形，且BE∥MF，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；
（Ⅱ）連接BD，由已知中底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，可得△ABD為等邊三角形，又由PA⊥平面ABCD，F(xiàn)是AB的中點，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，及等邊三角形“三線合一”可得：DF⊥AB，PA⊥DF，結(jié)合線面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB；
（Ⅲ）建立坐標系，求出平面PAB的一個法向量、平面PCD的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的大小．

解答： 解：（Ⅰ）證明：取PD中點為M，連ME，MF．…1分
∵E是PC的中點
∴ME是△PCD的中位線，
∴ME平行且等于

1

2

CD．
∵F是AB中點且ABCD是菱形，
∴AB平行且等于CD，
∴ME平行且等于

1

2

AB．
∴ME平行且等于FB
∴四邊形MEBF是平行四邊形．從而 BE∥MF．…3分
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（Ⅱ）證明：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
∴DF⊥PA．連接BD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB為正三角形．
∵F是AB的中點，∴DF⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．…9分
（Ⅲ）解：建立如圖所示的坐標系，則P（0，0，1），C（

3

，3，0），D（0，2，0），F(xiàn)（

3

2

，

1

2

，0）…10分
由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，∴

DF

=(

3

2

，-

3

2

，0)是平面PAB的一個法向量 …11分
設(shè)平面PCD的一個法向量為

n

=(x，y，z)
由

n

•

DC

=

3

x+y=0，且由

n

•

PD

=2y-z=0
在以上二式中令y=

3

，則得x=-1，z=2

3

，
∴

n

=(-1，

3

，2

3

)．…12分
設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳角為θ，則cosθ=

|- 3 2 - 3 3 3 |

3 4 + 9 4 • 1+3+12

=

1

2

故平面PAB與平面PCD所成的銳角為60°．…14分．

點評：本題主要考查線面平行和面面垂直的位置關(guān)系的判定，要求熟練掌握線面、面面垂直與平行的判定定理和性質(zhì)定理．綜合性較強．