Question

8．函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x|+|{x+1}|-3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域A；
（2）設(shè)B={x|-1＜x＜2}，當實數(shù)a，b∈（B∩（∁_RA））時，證明：$\frac{{|{a+b}|}}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}}$|．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)負數(shù)沒有平方根，利用絕對值的代數(shù)意義分類討論確定出定義域A即可；
（2）由A與B，求出A補集與B的交集，確定出a，b的范圍，所證不等式等價于2|a+b|＜|4+ab|，平方后利用作差法證明即可．

解答 （1）解：由題意得|x|+|x+1|-3≥0，
可得$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-x-1-3≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤x≤0}\\{-x+x+1-3≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x+x+1-3≥0}\end{array}}\right.$，
解得：x≤-2或x≥1，
則A=（-∞，-2]∪[1，+∞）；
（2）證明：∵A=（-∞，-2]∪[1，+∞），B=（-1，2），
∴B∩（∁_RA）=（-1，1），
又$\frac{{|{a+b}|}}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}}$|?2|a+b|＜|4+ab|，
而4（a+b）²-（4+ab）²=4a²+4b²-a²b²-16=a²（4-b²）+4（b²-4）=（b²-4）（4-a²），
∵a，b∈（-1，1），
∴（b²-4）（4-a²）＜0，
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
∴$\frac{{|{a+b}|}}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}}$|．

點評 此題考查了交、并、補集的混合運算，以及函數(shù)的定義域及其求法，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．