Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，-1≤x＜0}\\{g（x），0＜x≤1}\end{array}\right.$為奇函數(shù)，則函數(shù)y=2^g（x）的值域?yàn)椋?，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可先求出g（x）：設(shè)0＜x≤1，便有-1≤-x＜0，從而根據(jù)f（x）的解析式可以求出f（-x）=2^-x-1=-f（x），這樣即可求出g（x），并且對(duì)應(yīng)的x∈（0，1]，這樣可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）在（0，1]上的值域，從而再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)y=2^g（x）的值域．

解答 解：∵f（x）為奇函數(shù)；
∴f（-x）=-f（x）；
設(shè)0＜x≤1，則-1≤-x＜0；
∴f（-x）=2^-x-1=-f（x）；
∴f（x）=1-2^-x；
即g（x）=1-2^-x，0＜x≤1；
∴$y={2}^{g（x）}={2}^{（1-{2}^{-x}）}$；
0＜x≤1；
∴-1≤-x＜0；
∴$\frac{1}{2}≤{2}^{-x}＜1$；
∴$0＜1-{2}^{-x}≤\frac{1}{2}$；
∴${2}^{0}＜{2}^{（1-{2}^{-x}）}≤{2}^{\frac{1}{2}}$；
∴$1＜y≤\sqrt{2}$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋海?，$\sqrt{2}$]．
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，奇函數(shù)的概念，以及對(duì)于奇函數(shù)已知一邊區(qū)間上的解析式求函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上解析式的方法和過(guò)程，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域，本題要注意g（x）的定義域．