Question

給出下列命題：
①“x=2”是“x²=4”的充分不必要條件；
②設(shè)A={x||x|≤3}，B={y|y=-x²+t}，若A∩B=∅，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為[3，+∞）；
③若log₂x+log_x2≥2，則x＞1；
④存在x，y∈R，使sin（x-y）=sinx-siny；
⑤若命題p：對(duì)任意的x∈R，函數(shù)y=cos（2x-

π

3

）的遞減區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z），命題q：存在x∈R使tanx=1，則命題“p且q”是真命題．
其中真命題的序號(hào)為（　�。�

• A、①②④
• B、③④⑤
• C、②③⑤
• D、①③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①，利用充分必要條件的概念可判斷知x=2⇒x²=4，反之，不行，可判斷①；
②，依題意，可求得A={x|-3≤x≤3}，又B={y|y=-x²+t}，A∩B=∅，可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍為t＞12或t＜-3，可判斷②；
③，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式，可判斷③；
④，舉例x=0，y=0∈R，使sin（x-y）=sinx-siny，可判斷④；
⑤，先利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)y=cos（2x-

π

3

）的遞減區(qū)間，可判斷命題p為假命題，從而可判斷命題“p且q”是假命題，可判斷⑤．

解答： 解：對(duì)于①，x=2⇒x²=4，充分性成立，反之，不然，必要性不成立，故①正確；
對(duì)于②，由|x|≤3得：-3≤x≤3，即A={x|-3≤x≤3}；
又B={y|y=-x²+t}，A∩B=∅，
∴y=-x²+t＞3或y=-x²+t＜-3恒成立，即t＞3+x²，或t＜x²-3（-3≤x≤3）恒成立，
∴t＞12或t＜-3，故②錯(cuò)誤；
則實(shí)數(shù)t的取值范圍為[3，+∞）；
對(duì)于③，∵log₂x與log_x2互為倒數(shù)，
∴當(dāng)log₂x+log_x2≥2時(shí)，必有l(wèi)og₂x＞0且log₂x=1，即x=2時(shí)取“=”，所以x＞1，故③正確；
對(duì)于④，存在x=0，y=0∈R，使sin（0-0）=sin0-sin0成立，故④正確；
對(duì)于⑤，由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z）得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z），
∴函數(shù)y=cos（2x-

π

3

）的遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z），即命題p為假命題，于是命題“p且q”是假命題，故⑤錯(cuò)誤．
綜上所述，真命題的序號(hào)為①③④，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查充分必要條件的概念、復(fù)合命題的真假判斷，考查基本不等式的應(yīng)用與集合的運(yùn)算，屬于難題．