Question

18．已知a，b，c分別是△ABC中∠A，∠B，∠C所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求A；
（2）若a=2，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及兩角和的正弦公式可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A．
（2）通過(guò)余弦定理以及基本不等式求出b+c的范圍，再利用三角形三邊的關(guān)系求出b+c的范圍，即可得解．

解答 解：（1）∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinB-sinC=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
∴sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，
∴A-30°=30°，
∴A=60°；
（2）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
則4=b²+c²-bc，
∴（b+c）²-3bc=4，
即3bc=（b+c）²-4≤3[$\frac{1}{2}$（b+c）]²，
化簡(jiǎn)得，（b+c）²≤16（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)），
則b+c≤4，又b+c＞a=2，
綜上得，b+c的取值范圍是（2，4]，
可得△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為：（4，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、基本不等式的綜合應(yīng)用，誘導(dǎo)公式與輔助角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用是求解的基礎(chǔ)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本公式，屬于中檔題．