Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+3x，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)$（n，{S_n}）（n∈{N^*}）$均在函數(shù)y=f（x） 的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1計(jì)算a_n，再驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立即可；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（n，s_n）在f（x）的圖象上，${S_n}={n^2}+3n$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=4，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}+3n-{（n-1）^2}-3（n-1）$=2n+2，
顯然n=1時(shí)，上式也成立，
∴a_n=2n+2，
（2）${b_n}=\frac{a_n}{2^n}=\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}=（n+1）×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∵${T_n}=2+3×{（\frac{1}{2}）^1}+4×{（\frac{1}{2}）^2}+…+（n+1）×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T_n}=2×\frac{1}{2}+3×{（\frac{1}{2}）^2}+…+（n+1）×{（\frac{1}{2}）^n}$，
∴$\frac{1}{2}{T_n}=2+\frac{1}{2}+{（\frac{1}{2}）^2}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}-（n+1）×{（\frac{1}{2}）^n}$=2+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，
∴T_n=6-$\frac{n+3}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．