【題目】已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在兩個不相等的正數(shù)、滿足，求證：．

【答案】（1）當(dāng)時的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）證明見解析

【解析】

（1）求得，分和兩種情況討論，即可求解；

（2）由（1）可得當(dāng)時，由兩個不相等的正數(shù)、滿足，不妨設(shè)，得出，結(jié)合單調(diào)性，即可求解．

（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，

①當(dāng)時，恒有，故在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，由得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

綜上①②可知當(dāng)時的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由（1）知時在上單調(diào)遞增，

若，則，不合題意，

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

若存在兩個不相等的正數(shù)、滿足，

則、必有一個在上，另一個在上，

不妨設(shè)，則，即，

令，

則，當(dāng)且僅當(dāng)是取等號，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，

所以時，，即，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，即．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在高中學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們經(jīng)常這樣說：“數(shù)學(xué)物理不分家，如果物理成績好，那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就沒什么問題�！蹦嘲噌槍Α案咧猩锢韺W(xué)習(xí)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響”進(jìn)行研究，得到了學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績具有線性相關(guān)關(guān)系的結(jié)論。現(xiàn)從該班隨機(jī)抽取5位學(xué)生在一次考試中的數(shù)學(xué)和物理成績，如下表：

(1)求數(shù)學(xué)成績y對物理成績x的線性回歸方程。若某位學(xué)生的物理成績?yōu)?0分，預(yù)測他的數(shù)學(xué)成績；

(2)要從抽取的這5位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位參加一項(xiàng)知識競賽，求選中的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績至少有一位高于120分的概率。（參考公式： 參考數(shù)據(jù)： ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，角、、所對的邊分別為、、，，當(dāng)角取最大值時，的周長為，則__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：

①的周期為；

②在上單調(diào)遞增；

③函數(shù)在上有個零點(diǎn)；

④函數(shù)的最小值為.

其中所有正確結(jié)論的編號為（ ）

A.①②B.②③C.③④D.②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若對于，恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，且函數(shù)有極大值點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：()的離心率，以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）是否存在斜率為2的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，時，能在直線上找到一點(diǎn)，在橢圓上找到一點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】謝爾賓斯基三角形（Sierpinskitriangle）是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的，如圖先作一個三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”，我們用白色三角形代表挖去的面積，那么灰色三角形為剩下的面積（我們稱灰色部分為謝爾賓斯基三角形）．若通過該種方法把一個三角形挖3次，然后在原三角形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自謝爾賓斯基三角形的概率為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)．將沿折起到，使得平面平面（如圖2）．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案