已知正方形ABCD的邊長為1，．將正方形ABCD沿對角線折起，使，得到三棱錐A—BCD，如圖所示．

（I）若點M是棱AB的中點，求證：OM∥平面ACD；

（II）求證：；

（III）求二面角的余弦值．

 


     


解：(I) 在正方形ABCD中，是對角線的交點，

O為BD的中點，  M為AB的中點， OM∥AD.

又AD平面ACD，OM平面ACD， OM∥平面ACD. 

（II）證明：在中，，，

，.

又 是正方形ABCD的對角線，，

又.

（III）由（II）知，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系.則，               

是平面的一個法向量.，，                      

設平面的法向量,則，.

即， 

所以且令則，，解得.  

從而，二面角的余弦值為.


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