Question

19．如圖，在△ABC中，D，E分別為BC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（1）試用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{AF}$；
（2）若AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CE}$$•\overrightarrow{AF}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和中點(diǎn)的向量表示形式，即可得到所求向量；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡(jiǎn)整理即可得到所求數(shù)量積．

解答 解：（1）在△ABC中，D，E分別為BC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，
可得$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$；
$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
（2）若AB=2，AC=1，∠BAC=60°，
則$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=2×1×cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1；
$\overrightarrow{CE}$$•\overrightarrow{AF}$=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{2}$×4-1-$\frac{1}{2}$×1）=-$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，注意運(yùn)用中點(diǎn)的向量表示形式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．