Question

已知{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x|（x-3）•sinπx=1，x＞0}，則x₁+x₂+x₃+x₄的最小值為

1. A.
   6
2. B.
   8
3. C.
   10
4. D.
   12

Answer 1

D
分析：將“（x-3）•sinπx=1”兩邊同除以“x-3”，再分別判斷兩端函數(shù)的對(duì)稱中心，得到函數(shù)f（x）=sinπx-的對(duì)稱中心，再由對(duì)稱性求出x₁+x₂+x₃+x₄的最小值．
解答：由（x-3）•sinπx=1得，sinπx=，則x＞0且x≠3，
∵y=sinπx是以2為周期的奇函數(shù)，∴y=sinπx的對(duì)稱中心是（k，0），k∈z，
∵y=的圖象是由奇函數(shù)y=向右平移3個(gè)單位得到，∴y=的對(duì)稱中心是（3，0），
即函數(shù)f（x）=sinπx-的對(duì)稱中心是（3，0），
∵{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x|（x-3）•sinπx=1，x＞0}，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，最小值x₁和x₃、x₂和x₄關(guān)于（3，0）對(duì)稱，即x₁+x₃=6、x₂+x₄=6，
則x₁+x₂+x₃+x₄=12，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的對(duì)稱性求出方程根之和的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是利用基本初等函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行判斷，相應(yīng)復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱性，難度較大．