Question

14．已知θ∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），sin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求sinθ的值；
（2）求cos（2θ+$\frac{2π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式即可求出，
（2）根據(jù)同角的三角形函數(shù)的關(guān)系和兩角和余弦公式和二倍角公式即可求出．

解答 解：（1）∵θ∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∴（θ-$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{π}{2}$，π），
∵sin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos（θ-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinθ=sin（θ-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=sin（θ-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（θ-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
（2）由（1）sinθ=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosθ=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（$θ+\frac{π}{3}$）=cosθcos$\frac{π}{3}$-sinθsin$\frac{π}{3}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}（\sqrt{3}-3）}{10}$
∴cos（2θ+$\frac{2π}{3}$）=2cos²（$θ+\frac{π}{3}$）-1=$\frac{7-6\sqrt{3}}{5}$

點評 本題考查了同角的三角形函數(shù)的關(guān)系和兩角和正弦，余弦公式和二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．