Question

4．定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x）滿足條件：（1）f（x）是奇函數(shù)；（2）f（1+x）=f（1-x）；（3）f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；（4）f（1）=1，則在x∈[-2k，2k]時（k為非零正整數(shù)），函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點的個數(shù)是（　�。�

• A． 2k-1
• B． 2k
• C． 2k+1
• D． k+1

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期是4，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴由f（1+x）=f（1-x）得f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
即f（x+2）=-f（x），則f（x+4）=f（x），
即函數(shù)的周期是4，
在一個周期[-2，2]內(nèi)，
∵f（1）=1，∴f（-1）=-f（1）=1，
∵f（0）=0，∴f（2）=-f（0）=0，則f（-2）=-f（2）=0，
則在每一個周期（-2，2]內(nèi)有兩個零點，則在[-2k，2k]共有2k+1個零點，
即），函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點的個數(shù)是2k+1，
故選：C．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)零點即方程根的個數(shù)的判斷，利用函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期是解決本題的關(guān)鍵．