Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD，E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得PA⊥CD，再由∠ADC=90°，得CD⊥AD，利用線面垂直的判定可得CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）由CD⊥平面PAD，可知∠PDA為二面角P-CD-A的平面角，從而∠PDA=45°．在平面ABCD內(nèi)，作Ay⊥AD，以A為原點(diǎn)，分別以AD，AP所在直線為x軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)BC=1，求出A，P，E，C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出平面PCE的一個(gè)法向量，由法向量與向量$\overrightarrow{AP}$所成角的余弦值的絕對(duì)值可得直線PA與平面PCE所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：由已知，PA⊥CD，
又∠ADC=90°，即CD⊥AD，且PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：∵CD⊥平面PAD，∴∠PDA為二面角P-CD-A的平面角，從而∠PDA=45°．
如圖所示，在平面ABCD內(nèi)，作Ay⊥AD，以A為原點(diǎn)，分別以AD，AP所在直線為x軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)BC=1，則A（0，0，0），P（0，0，2），E（1，0，0），
C（2，1，0），
∴$\overrightarrow{PE}=（1，0，-2）$，$\overrightarrow{EC}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$．
設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=2，則$\overrightarrow{n}=（2，-2，1）$．
設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α，
則$sinα=\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AP}|}=\frac{2}{2\sqrt{{2}^{2}+（-2）^{2}+{1}^{2}}}=\frac{1}{3}$．
∴直線PA與平面PCE所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查利用空間向量求解線面角，是中檔題．