Question

9．如圖，四邊形ABEF為矩形，AC=BC，AB=2AF=FC=2，$OC=\sqrt{2}$．O為AB的中點．
（Ⅰ）求證：FA⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由O是AB的中點，AC=BC，可得OC⊥AB．再求解直角三角形可得FC²=FA²+AC²，得FA⊥AC，由四邊形ABEF為矩形，可得AB⊥AF，再由線面垂直的判定可得FA⊥平面ABC；
（Ⅱ）取EF的中點D，以O為原點，OC，OB，OD所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，進一步求得平面FCE與平面CEB的法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角F-CE-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵O是AB的中點，AC=BC，∴OC⊥AB．
∵AO=$\frac{1}{2}AB=1$，$CO=\sqrt{2}$，∴$AC=\sqrt{3}$，
∵2AF=FC=2，∴FC²=FA²+AC²，即FA⊥AC，
∵四邊形ABEF為矩形，∴AB⊥AF，
又AB∩OC=O，∴FA⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：取EF的中點D，以O為原點，OC，OB，OD所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則F（0，-1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），
C（$\sqrt{2}$，0，0）．
從而$\overrightarrow{CE}=（-\sqrt{2}，1，1）$，$\overrightarrow{EF}=（0，-2，0）$，$\overrightarrow{EB}=（0，0，-1）$．
設平面FCE的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-\sqrt{2}x+y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-2y=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{n}=（1，0，\sqrt{2}）$，
設平面CEB的法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-\sqrt{2}x+y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=-z=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{2}$，0），
設$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$的夾角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$，
由于二面角F-CE-B為鈍二面角，則余弦值為$-\frac{1}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．