【題目】已知函數(shù)和(為常數(shù))的圖象在處有公切線.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的極大值和極小值;
(Ⅲ)關(guān)于x的方程由幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)解?
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)的極大值為,的極小值為;(Ⅲ)方程有2個(gè)實(shí)數(shù)解.
【解析】試題分析:(1)先對兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo),再由題目條件知,f′(3)=g′(3)從而建立關(guān)于a的方程,可求得a的值.
(2)由(1)確定了函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的解析式,通過探討導(dǎo)數(shù)的符號得函數(shù)的單調(diào)性,即可的函數(shù)的極大值和極小值.
(3)由(2)可得結(jié)論.
試題解析:
(Ⅰ),,
函數(shù),的圖象在處有公切線.
∴,即,∴.
(Ⅱ)由題知,又,∴,∴.
,
∴ .
令,則或.
∴當(dāng)或時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.
∴的極大值為,的極小值為.
(Ⅲ)根據(jù)題意,方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
又,
,
,結(jié)合(Ⅱ),有2個(gè)零點(diǎn).
方程有2個(gè)實(shí)數(shù)解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中, 平面,底面是菱形, , , . 為與的交點(diǎn), 為棱上一點(diǎn),
(1)證明:平面⊥平面;
(2)若三棱錐的體積為,
求證: ∥平面.
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【題目】如圖,關(guān)于正方體ABCD﹣A1B1C1D1 , 下面結(jié)論錯誤的是( )
A.BD⊥平面ACC1A1
B.AC⊥BD
C.A1B∥平面CDD1C1
D.該正方體的外接球和內(nèi)接球的半徑之比為2:1
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【題目】已知函數(shù)(,)的最小正周期是,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得的函數(shù)為,則函數(shù)的圖象( )
A. 有一個(gè)對稱中心 B. 有一條對稱軸
C. 有一個(gè)對稱中心 D. 有一條對稱軸
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【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),前項(xiàng)和為,且.
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列滿足,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著醫(yī)院對看病掛號的改革,網(wǎng)上預(yù)約成為了當(dāng)前最熱門的就診方式,這解決了看病期間病人插隊(duì)以及醫(yī)生先治療熟悉病人等諸多問題;某醫(yī)院研究人員對其所在地區(qū)年齡在10~60歲間的位市民對網(wǎng)上預(yù)約掛號的了解情況作出調(diào)查,并將被調(diào)查的人員的年齡情況繪制成頻率分布直方圖,如下圖所示.
(Ⅰ)若被調(diào)查的人員年齡在20~30歲間的市民有300人,求被調(diào)查人員的年齡在40歲以上(含40歲)的市民人數(shù);
(Ⅱ)若按分層抽樣的方法從年齡在以內(nèi)及以內(nèi)的市民中隨機(jī)抽取5人,再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)研,求抽取的2人中,至多1人年齡在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),總有f(mn)=f(m)f(n),且f(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),f(x)>1.
(1)求f(1),f(﹣1)的值;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并證明;
(3)判斷函數(shù)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并證明.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= sinxcosx+sin2x﹣ .
(1)求f(x)的最小正周期及其對稱軸方程;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f( + ),其中常數(shù)ω>0,|φ|< . (i)當(dāng)ω=4,φ= 時(shí),函數(shù)y=g(x)﹣4λf(x)在[ , ]上的最大值為 ,求λ的值;
(ii)若函數(shù)g(x)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)﹣ ,且其圖象過點(diǎn)A( ,1),記函數(shù)g(x)的最小正周期為T,試求T取最大值時(shí)函數(shù)g(x)的解析式.
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【題目】若函數(shù) 圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為 ,且該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(x0 , 0)成中心對稱, ,則x0=( )
A.
B.
C.
D.
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