Question

若正數(shù)a，b滿足2a+b=1，則4a2+b2-

1

ab

的最大值為

-

15

2

．

Answer 1

分析：利用基本不等式求出ab的取值范圍，再利用完全平方式和2a+b=1，將4a2+b2-

1

ab

的最大值轉(zhuǎn)化為1-4ab-

1

ab

的最大值，利用換元法，令t=ab，再令y=4a2+b2-

1

ab

，則將問題轉(zhuǎn)化為求y=-4t-

1

t

+1的最大值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，從而確定當(dāng)t=

1

8

時(shí)，y取得最大值，即4a2+b2-

1

ab

的最大值．

解答：解：∵2a+b=1，且a，b均為正實(shí)數(shù)，
∴1=2a+b≥2

2ab

，
∴0＜ab≤

1

8

，
當(dāng)且僅當(dāng)2a=b，即a=

1

4

，b=

1

2

時(shí)取等號(hào)，
∵4a2+b2-

1

ab

=（2a+b）²-4ab-

1

ab

，且2a+b=1，
∴4a2+b2-

1

ab

=1-4ab-

1

ab

，
令t=ab，則0＜t≤

1

8

，
令y=4a2+b2-

1

ab

，
則y=-4t-

1

t

+1，
y′=-4+

1

t2

=

-4t2+1

t2

，
∵當(dāng)-

1

2

＜t＜

1

2

時(shí)，y′＞0，
∴y=-4t-

1

t

+1在（-

1

2

，

1

2

）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴y=-4t-

1

t

+1在（0，

1

8

]上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴當(dāng)t=

1

8

時(shí)，y取得最大值為-4×

1

8

-8+1=-

15

2

，
∴4a2+b2-

1

ab

的最大值為-

15

2

．
故答案為：-

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的判斷．本題同時(shí)考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的增減，利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值問題．屬于中檔題．