Question

19．已知數(shù)列{b_n}是首項為-34，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），且a₁=b₃₇，則數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的最大值為$\frac{1}{{2}^{36}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項公式可得數(shù)列{b_n}的通項公式，進而對于數(shù)列{a_n}，由a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，計算可得數(shù)列{a_n}的通項公式，即可得數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的通項，結合數(shù)列的性質分析可得當n=36時，數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}取得最大值，計算即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，數(shù)列{b_n}是首項為-34，公差為1的等差數(shù)列，
則b_n=（-34）+1×（n-1）=n-35，
b₃₇=37-35=2，
對于數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），a₁=b₃₇=2，
則有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=（2^n-1+2^n-2+…+2）+2=$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$=2ⁿ，
數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的通項為：$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-35}{{2}^{n}}$，
分析可得：當n=36時，數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}取得最大值，此時$\frac{_{36}}{{a}_{36}}$=$\frac{1}{{2}^{36}}$；
故答案為：$\frac{1}{{2}^{36}}$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式的應用，關鍵是求出數(shù)列{a_n}的通項公式．