Question

8．已知函數(shù)f（x）=lg（x²+tx+2）（t為常數(shù)，且-2$\sqrt{2}$＜t＜2$\sqrt{2}$）．
（1）當x∈[0，2]時，求函數(shù)f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的實數(shù)a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2）．若存在，求出實數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=x²+tx+2，要求函數(shù)f（x）的最小值，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，只要求解函數(shù)g（x）的最小值即可，結合圖象，需判斷對稱軸與區(qū)間[0，2]的位置關系，分類討論；
（2）假設存在，則由已知等價于x²+tx+2=x在區(qū)間（0，2）上有兩個不同的實根，分離參數(shù)，運用導數(shù)求出右邊的最值和范圍，即可得出結論．

解答 解：（1）令g（x）=x²+tx+2對稱軸為x=-$\frac{t}{2}$，
①當-$\frac{t}{2}$≤0，即t≥0時，g（x）_min=g（0）=2，∴f（x）_min=lg2；
②當0＜-$\frac{t}{2}$＜2，即-4＜t＜0時，g（x）_min=g（-$\frac{t}{2}$）=2-$\frac{{t}^{2}}{4}$，
考慮到g（x）＞0，則
1°-2$\sqrt{2}$＜t＜0，f（x）_min=f（-$\frac{t}{2}$）=lg（2-$\frac{{t}^{2}}{4}$），
2°-4＜t≤-2$\sqrt{2}$，沒有最小值．
③當-$\frac{t}{2}$≥2，即t≤-4時，g（x）_min=g（2）=6+2t，
考慮到g（x）＞0∴f（x）沒有最小值．
綜上所述：當t≤-2時f（x）沒有最小值；
當t＞-2時，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{lg（2-\frac{{t}^{2}}{4}），-2\sqrt{2}＜t＜0}\\{lg2，0≤t＜2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
（2）假設存在，則由已知等價于x²+tx+2=x在區(qū)間（0，2）上有兩個不同的實根，
等價于t=-（$\frac{2}{x}$+x）+1，x∈（0，2）
t′=-1+$\frac{2}{{x}^{2}}$，x∈（0，$\sqrt{2}$），t′＞0；x∈（$\sqrt{2}$，2），t′＜0．
x=$\sqrt{2}$取最大值1-2$\sqrt{2}$．x=2，t=-2．
可得-2＜t＜1-2$\sqrt{2}$．
故存在，實數(shù)t的取值范圍是-2＜t＜1-2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)定義域的求解，復合函數(shù)單調性的應用及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，要注意考慮對稱軸與區(qū)間位置關系的討論，二次方程的實根分布問題的應用，本題的綜合性比較強．