Question

17．設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足$\frac{x-3}{x+2}$＜0．
（1）若a=1且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若?q是?p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出關(guān)于p，q的不等式，根據(jù)p真且q真取交集即可；（2）由p是q的充分不必要條件，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，
當(dāng)a=1時(shí)，1＜x＜3，即p為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．
由實(shí)數(shù)x滿足$\frac{x-3}{x+2}＜0$
得-2＜x＜3，即q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是-2＜x＜3．
若p∧q為真，則p真且q真，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．-----（5分）
（2）?q是?p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件
由a＞0，及3a≤3得0＜a≤1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1．------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關(guān)系，是一道中檔題．