Question

如圖，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的長半軸長．
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)C₂與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C₂相交于點(diǎn)A，B，直線MA，MB分別與C₁相交與D，E．證明：MD⊥ME．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)拋物線C₂被x軸截得弦長，建立關(guān)于b的等式，解出b=1；再由橢圓離心率為

3

2

，建立a、c的關(guān)系式，算出a²=2，由此即可得到橢圓C₁和拋物線C₂的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且直線AB方程為y=kx，與拋物線方程水運(yùn)y，得x²-kx-1=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡得

MA

•

MB

=0，從而得到MA⊥MB

解答： 解：（Ⅰ）由已知e=

c

a

=

3

2

，
又a²=b²+c²，可解得a=2b  ①
在y=x²-b中，令y=0，得x=±

b

∴2

b

=a②
由①②得，a=2，b=1
可得橢圓C₁的方程為

x2

2

+y2=1
而拋物線C₂的方程為y=x²-1；
（2）設(shè)直線AB方程為y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由

y=kx y=x2-1

，消去y，得x²-kx-1=0
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）=k²，y₁y₂=kx₁•kx₂=k²x₁x₂=-k²
∵M(jìn)坐標(biāo)為（0，-1），
∴

MA

•

MB

=x₁x₂+y₁y₂+y₁+y₂+1=-1-k²+k²+1=0
因此，

MA

⊥

MB

，即MA⊥MB

點(diǎn)評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查曲線方程的求解，考查利用向量的知識證明向量的垂直，著重考查了橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識點(diǎn)，屬于中檔題．