Question

如圖，某測量人員為了測量西江北岸不能到達(dá)的兩點A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個點C，從C點可以觀察到點A，B；找到一個點D，從D點可以觀察到點A，C；找到一個點E，從E點可以觀察到點B，C；并測量得到數(shù)據(jù)：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1百米．
（1）求△CDE的面積；
（2）求A，B之間的距離的平方．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（1）利用周角定義求出∠DCE度數(shù)，再由CD與CE的長，利用三角形面積公式求出三角形CDE面積即可；
（2）連接AB，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長，在直角三角形BCE中，求出∠CBE度數(shù)，利用正弦定理求出BC的長，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AB的平方即可．

解答： 解：（1）在△CDE中，∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°，
∴S_△CDE=

1

2

CD•CE•sin150°=

1

2

×1×1×

1

2

=

1

4

（平方百米）；
（2）連接AB，
根據(jù)題意知，在Rt△ACD中，AC=DC•tan∠ADC=1×tan60°=

3

（百米），
在△BCE中，∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°，
由正弦定理

BC

sin∠CEB

=

CE

sin∠CBE

得：BC=

CE•sin∠CEB

sin∠CBE

=

1× 2 2

1 2

=

2

（百米），
∵cos15°=cos（60°-45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°=

6 + 2

4

，
在△ABC中，由余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB，
則AB²=3+2-2

3

×

2

×

6 + 2

4

=2-

3

（百米）．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．