Question

11．若數(shù)列{x_n}滿足條件x₁=3，x_n+1=$\frac{{x}_{n}^{2}+1}{{2x}_{n}}$，求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過對x_n+1=$\frac{{x}_{n}^{2}+1}{{2x}_{n}}$變形可知x_n+1+1=$\frac{（{x}_{n}+1）^{2}}{2{x}_{n}}$、x_n+1-1=$\frac{（{x}_{n}-1）^{2}}{2{x}_{n}}$，兩式作商可知$\frac{{x}_{n+1}+1}{{x}_{n+1}-1}$=$（\frac{{x}_{n}+1}{{x}_{n}-1}）^{2}$，進(jìn)而兩邊同時取對數(shù)可知log₂$\frac{{x}_{n+1}+1}{{x}_{n+1}-1}$=2log₂$\frac{{x}_{n}+1}{{x}_{n}-1}$，利用累乘法計(jì)算可知log₂$\frac{{x}_{n}+1}{{x}_{n}-1}$=2^n-1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵x_n+1=$\frac{{x}_{n}^{2}+1}{{2x}_{n}}$，
∴x_n+1+1=$\frac{{x}_{n}^{2}+1}{{2x}_{n}}$+1=$\frac{（{x}_{n}+1）^{2}}{2{x}_{n}}$，x_n+1-1=$\frac{{x}_{n}^{2}+1}{{2x}_{n}}$-1=$\frac{（{x}_{n}-1）^{2}}{2{x}_{n}}$，
兩式作商可知：$\frac{{x}_{n+1}+1}{{x}_{n+1}-1}$=$\frac{\frac{（{x}_{n}+1）^{2}}{2{x}_{n}}}{\frac{（{x}_{n}-1）^{2}}{2{x}_{n}}}$=$（\frac{{x}_{n}+1}{{x}_{n}-1}）^{2}$，
兩邊同時取對數(shù)可知：log₂$\frac{{x}_{n+1}+1}{{x}_{n+1}-1}$=2log₂$\frac{{x}_{n}+1}{{x}_{n}-1}$，
∴l(xiāng)og₂$\frac{{x}_{n}+1}{{x}_{n}-1}$=2log₂$\frac{{x}_{n-1}+1}{{x}_{n-1}-1}$=…=2^n-1log₂$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$=2^n-1log₂$\frac{3+1}{3-1}$=2^n-1，
∴$\frac{{x}_{n}+1}{{x}_{n}-1}$=${2}^{{2}^{n-1}}$，
解得：x_n=$\frac{1+{2}^{{2}^{n-1}}}{-1+{2}^{{2}^{n-1}}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．