Question

1．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及中心對稱點；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-cos2x，求函數(shù)g（x）在區(qū)間$x∈[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)圖象觀察可知A，函數(shù)的周期T=2（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π，由周期公式可得ω，由點（$\frac{π}{6}$，2）在函數(shù)圖象上，可得：2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，解得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z結(jié)合范圍|φ|≤$\frac{π}{2}$，即可求得φ的值，即可得解．
（2）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，從而得解．

解答 解：（1）由函數(shù)圖象觀察可知：A=1…（1分），
函數(shù)的周期T=2（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π，由周期公式可得：ω=$\frac{2π}{π}$=2…（2分）
由點（$\frac{π}{6}$，1）在函數(shù)圖象上，可得：sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，可得：φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$．…（4分）
∴f（x）的解析式為：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z可解得中心對稱點為：（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，0）；…（6分）

（2）∵g（x）=f（x）-cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，…（8分）
∴g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
故函數(shù)g（x）在區(qū)間$x∈[0，\frac{π}{2}]$上的最大值為1，最小值-$\frac{1}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．