Question

1．根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米．我市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)2016年20天PM2.5的24小時(shí)平均濃度（單位：微克/立方米）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表

組別	PM2.5濃度 （微克/立方米）	頻數(shù)（天）	頻率
第一組	（0，25]	3	0.15
第二組	（25，50]	12	0.6
第三組	（50，75]	3	0.15
第四組	（75，100]	2	0.1

（1）從樣本中PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過50微克/立方米的天數(shù)中，隨機(jī)抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過75微克/立方米的概率；
（2）將這20天的測(cè)量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖．
①求圖中a的值；
②求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（50，75]內(nèi)的三天記為A₁，A₂，A₃，PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（75，100）內(nèi)的兩天記為B₁，B₂，求出基本事件總數(shù)，符合條件的基本事件總數(shù)，即可求得概率；
（2）①由第四組的頻率為：0.1得：25a=0.1，解得a值；
②利用組中值×頻數(shù)，可得去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度，進(jìn)而可判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)．

解答 解：（1）設(shè)PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（50，75]內(nèi)的三天記為A₁，A₂，A₃，
PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（75，100）內(nèi)的兩天記為B₁，B₂．
所以5天任取2天的情況有：
A₁A₂，A₁A₃，A₁B₁，A₁B₂，A₂A₃，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂共10種． …（4分）
其中符合條件的有：A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂共6種． …（6分）
所以所求的概率P=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$． …（8分）
（2）①由第四組的頻率為：0.1得：25a=0.1，
解得：a=0.004
②去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）．…（10分）
因?yàn)?2.5＞35，
所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查頻率分布表、古典概型、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查必然與或然思想等．