Question

10．已知a∈R，函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{2^x}-a}}$．
（1）當a=0時，解不等式f（x）＞1；
（2）當a＞0時，求函數(shù)y=2f（x）-f（2x）的零點個數(shù)；
（3）設a＜0，若對于t∈R，函數(shù)在區(qū)間[t，t+1]上的最大值與最小值之差都不超過1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=0時，f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$，即可解不等式f（x）＞1；
（2）當a＞0時，換元，分類討論，即可求函數(shù)y=2f（x）-f（2x）的零點個數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，由題意得f（t）-f（t+1）≤1，即$\frac{1}{{2}^{t}-a}$-$\frac{1}{{2}^{t+1}-a}$≤1，設x=2^t（x＞0），則2x²-（3a+1）x+a²≥0，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）a=0時，f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵f（x）＞1，即$\frac{1}{{2}^{x}}$＞1，∴0＜2^x＜1，
解得x＜0．
（2）y=2f（x）-f（2x）=$\frac{2}{{2}^{x}-a}-\frac{1}{{2}^{2x}-a}$，
∴函數(shù)y=2f（x）-f（2x）的定義域為{x|x≠log₂a，且x≠$\frac{1}{2}$log₂a}．
令y=0得2^2x+1-2^x-a=0，
令t=2^x（t＞0，且t≠a，t$≠\sqrt{a}$），方程為2t²-t-a=0，△=1+8a＞0，
若a=1，t=1或-$\frac{1}{2}$，方程無解，即函數(shù)y=2f（x）-f（2x）的零點個數(shù)為0
若0＜a＜1或a＞1，方程有兩個不相等的解，即函數(shù)y=2f（x）-f（2x）的零點個數(shù)為2；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，
由題意得f（t）-f（t+1）≤1，即$\frac{1}{{2}^{t}-a}$-$\frac{1}{{2}^{t+1}-a}$≤1，
∴2^2t+1-（3a+1）•2^t+a²≥0，
設x=2^t（x＞0），則2x²-（3a+1）x+a²≥0，
∴△≤0或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{3a+1}{4}≤0}\\{{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$，∴a≤-$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，以及指數(shù)不等式的應用，考查換元法、函數(shù)的零點．綜合性較強，難度較大．