已知a，b，c為非零實數(shù)，且a2+b2+c2+1-m=0，
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
+1-2m=0．
（1）求證
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
≥
36
a2+b2+c2
．
（2）求實數(shù)m的取值范圍．
考點：不等式的證明
專題：選作題,不等式
分析：（1）由柯西不等式可得（
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
）（a2+b2+c2）≥（1+2+3）2，即可證明結論；
（2）利用（1）的結論，即可求實數(shù)m的取值范圍．
解答： （1）證明：由柯西不等式可得（
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
）（a2+b2+c2）≥（1+2+3）2，
∴
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
≥
36
a2+b2+c2
；
（2）解：∵a2+b2+c2+1-m=0，
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
+1-2m=0，
∴a2+b2+c2=m-1，
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
=2m-1，
∴（
1
a2
+
4
b2
+
9
c2
）（a2+b2+c2）=（2m-1）（m-1）≥36，
∴2m2-3m-35≥0，
∴m≤-3.5或m≥5．
∵m≥1，
∴m≥5．
點評：本題考查不等式的證明，考查柯西不等式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF=BE=2，EF=4
2
，AB=2
2
，ABCD是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分別是AC，EF的中點，P是BM中點．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：AM⊥平面BCM；
（Ⅲ）求點F到平面BCE的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：ax-2y+2=0（a∈R）
（1）若與直線m：x+（a-3）y+1=0（a∈R）平行，求a；
（2）若直線l始終平分圓C：（x-1）2+y2=2的周長，求a．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x1，x2，…xn∈R+，且x1x2…xn=1，求證：（
2
+x1）（
2
+x2）…（
2
+xn）≥（
2
+1）n．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn（n∈N*），已知a10=18，S5=-15．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{an}的前n項和的最小值，并指出此時n的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點．
（Ⅰ）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明．
（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線l與圓O的另一個交點為D，記直線DF與平面ABC所成的角為θ，直線DF與直線BD所成的角為α，二面角E-BD-C的大小為β，求證：sinθ=sinαsinβ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求經(jīng)過圓C1：x2+y2-4x+2y+1=0與圓C2：x2+y2-6x=0的交點且過點（2，-2）的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x||x-3|＜1}，則（∁UA）∩B=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

方程lgx=x-5的大于1的根在區(qū)間（n，n+1），則正整數(shù)n=
 
．

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