Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）（左、右頂點(diǎn)A，B除外）與兩焦點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）圍成的三角形的周長(zhǎng)恒為12．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）到點(diǎn)F₂與到K（8，0）距離之比為

1

2

，求點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（3）設(shè)直線PB，QB的斜率分別為k₁，k₂，且4k₁=3k₂，證明：A，P，Q三點(diǎn)共線．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,三點(diǎn)共線,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意結(jié)合橢圓定義得到2a+2c=12，從而求出a，再結(jié)合c=2求得b，則橢圓方程可求；
（2）直接由動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）到點(diǎn)F₂與到K（8，0）距離之比為

1

2

列式求點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（3）設(shè)P（x₀，y₀），寫(xiě)出PA和PB的斜率，結(jié)合P在橢圓上及4k₁=3k₂得到k_PA•k₂=-1，由（2）知點(diǎn)Q在圓x²+y²=16上，由此可得k_QA•k₂=-1，從而得到PA和QA所在直線的斜率相等，再由兩直線有公共點(diǎn)A，可得A，P，Q三點(diǎn)共線．

解答： （1）解：由橢圓C的焦點(diǎn)為F₁（-2，0）得c=2，
又由橢圓的定義得△PF₁F₂的周長(zhǎng)為2a+2c=12，
解得a=4，c=2，
∴b²=a²-c²=12，
即所求橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）解：由題意得

|QF2|

|QK|

=

1

2

，
∵|QF2|=

(x-2)2+y2

，|QK|=

(x-8)2+y2

，
∴

(x-2)2+y2

(x-8)2+y2

=

1

2

，化簡(jiǎn)得：x²+y²=16，
經(jīng)檢驗(yàn)得軌跡E的方程為x²+y²=16；
（3）證明：由（1）知A（-4，0），B（4，0），
設(shè)P（x₀，y₀），
則kPA•k1=

y0

x0+4

•

y0

x0-4

=

y02

x02-16

，
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓C上，
∴

x02

16

+

y02

12

=1，即y02=12-

3

4

x02，
∴kPA•k1=

12- 3 4 x02

x02-16

=-

3

4

，
∴kPA=-

3

4k1

，
又∵4k₁=3k₂，
∴k_PA•k₂=-1，
由（2）知點(diǎn)Q在圓x²+y²=16上，
∴k_QA•k₂=-1，
∴k_PA=k_QA，
又直線PA，QA有共同點(diǎn)A，
∴A，P，Q三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查了曲線軌跡方程的求法，訓(xùn)練了平面內(nèi)三點(diǎn)共線的證明方法，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，是壓軸題．