Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x＋＋2(m為實(shí)常數(shù)).

(1)若函數(shù)f(x)圖象上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值；

(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)設(shè)m<0，若不等式f(x)≤kx在x∈[，1]時(shí)有解，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 或；(2)(－∞，4]；(3)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(1)設(shè)P(x，y)，結(jié)合兩點(diǎn)之間距離公式有： ，求解關(guān)于實(shí)數(shù)的方程可得或；

(2)由題意知，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，有f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·>0.則m<x1x2.據(jù)此可得m的取值范圍是(－∞，4].

(3)由f(x)≤kx分離參數(shù)可得： 在上能成立，換元令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：

當(dāng)時(shí)，k∈[4m＋5，＋∞)；

當(dāng)時(shí)，k∈[m＋3，＋∞).

試題解析：

(1)設(shè)P(x，y)，則y＝x＋＋2，

PQ2＝x2＋(y－2)2＝x2＋(x＋)2

＝2x2＋＋2m≥2|m|＋2m＝2，

當(dāng)m>0時(shí)，解得m＝－1；

當(dāng)m<0時(shí)，解得m＝－－1.

所以m＝－1或m＝－－1.

(2)由題意知，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，

則f(x2)－f(x1)＝x2＋＋2－(x1＋＋2)＝(x2－x1)·>0.

因?yàn)?/span>x2－x1>0，x1x2>0，

所以x1x2－m>0，即m<x1x2.

由x2>x1≥2，得x1x2>4，所以m≤4.

所以m的取值范圍是(－∞，4].

(3)由f(x)≤kx，得x＋＋2≤kx.

因?yàn)?/span>x∈[，1]，所以k≥＋＋1.

令t＝，則t∈[1,2]，

所以k≥mt2＋2t＋1.

令g(t)＝mt2＋2t＋1，t∈[1,2]，

于是，要使原不等式在x∈[，1]時(shí)有解，當(dāng)且僅當(dāng)k≥[g(t)]min(t∈[1,2]).

因?yàn)?/span>m<0，

所以g(t)＝m(t＋)2＋1－的圖象開(kāi)口向下，

對(duì)稱軸為直線t＝－>0.

因?yàn)?/span>t∈[1,2]，所以當(dāng)0<－≤，

即m≤－時(shí)，g(t)min＝g(2)＝4m＋5；

當(dāng)－>，即－<m<0時(shí)，

g(t)min＝g(1)＝m＋3.

綜上，當(dāng)m≤－時(shí)，k∈[4m＋5，＋∞)；

當(dāng)－<m<0時(shí)，k∈[m＋3，＋∞).