Question

1．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=（ax²+x）e^x，若f（x）在[-1，1]上是單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍是（　　）

• A． [-$\frac{2}{3}$，0]
• B． （-∞，0）∪[$\frac{2}{3}$，+∞）
• C． [0，$\frac{2}{3}$]
• D． （-∞，-$\frac{2}{3}$]∪[0，+∞）

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a=0和a≠0兩種情況討論，a≠0時(shí)由導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0可知導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，分a＞0和a＜0兩種情況進(jìn)一步討論，可知a＞0時(shí)不合題意，a＜0時(shí)需要導(dǎo)函數(shù)在[-1，1]上恒大于等于0列式求a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=（ax²+x）e^x，得：
f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)，故a=0符合要求；
②當(dāng)a≠0時(shí)，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因?yàn)椤?（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，
所以g（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＞x₂，
因此f（x）有極大值又有極小值．
若a＞0，因?yàn)間（-1）g（0）=-a＜0，
所以f（x）在（-1，1）內(nèi)有極值點(diǎn)，
故f（x）在[-1，1]上不單調(diào)．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因?yàn)間（x）的圖象開口向下，要使f（x）在[-1，1]上單調(diào)，
因?yàn)間（0）=1＞0，必須滿足$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2≥0}\\{-a≥0}\end{array}\right.$，所以-$\frac{2}{3}$≤a≤0．
綜上可知，a的取值范圍是[-$\frac{2}{3}$，0]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了方程的根與二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，屬中檔題．