Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+acosx$，g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若f（x）在$（\frac{π}{2}，f（\frac{π}{2}））$處的切線方程為$y=\frac{π+2}{2}x-\frac{{{π^2}+4π}}{8}$，求a的值；
（2）若a≥0且f（x）在x=0時取得最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，結(jié)合已知切線方程，可得a的值；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得g（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，討論a=0，a＞0，分0＜a≤1，a＞1，求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+acosx$，
f′（x）=x-asinx，f′（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$-a=$\frac{π+2}{2}$，
所以a=-1，經(jīng)驗(yàn)證a=-1合題意；
（2）g（x）=f′（x）=x-asinx，g′（x）=1-acosx，
①當(dāng)a=0時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²，顯然在x=0時取得最小值，∴a=0合題意；
②當(dāng)a＞0時，
（i）當(dāng)$\frac{1}{a}$≥1即0＜a≤1時，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，又g（0）=0，
∴當(dāng)x＜0時，g（x）＜0 即f′（x）＜0，當(dāng)x＞0時，g（x）＞0 即f′（x）＞0
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x） 在x=0時取得最小值，
∴當(dāng)0＜a≤1時合題意；
（ii）當(dāng)0＜$\frac{1}{a}$＜1即a＞1時，在（0，π）內(nèi)存在唯一x₀=arccos$\frac{1}{a}$使g′（x）=0，
當(dāng)x∈（0，x₀）時，∵y=cosx在（0，π）上是單調(diào)遞減的，∴cosx＞cosx₀=$\frac{1}{a}$，
∴g′（x）=a （$\frac{1}{a}$-cosx）＜0，∴g（x） 在（0，x₀）上單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0．
即f′（x）＜0，∴f（x）在（0，x₀）內(nèi)單調(diào)遞減；
∴x∈（0，x₀）時，f（x）＜0  這與f（x）在x=0時取得最小值即f（x）≥f（0）矛盾，
∴當(dāng)a＞1時不合題意；
綜上，a的取值范圍是[0，1]．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論思想方法以及方程思想、轉(zhuǎn)化思想，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．