Question

是否存在實(shí)數(shù)a，且a∈Z，使得函數(shù)y=cot（

π

4

+ax）在x∈（

π

8

，

5

8

π）上是單調(diào)遞增的？若存在，求出a的一個(gè)值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：正切函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，且a∈Z，使得函數(shù)y=cot（

π

4

+ax）在x∈（

π

8

，

5

8

π）上是單調(diào)遞增的，由余切函數(shù)的單調(diào)性可知：y=cotx在每一個(gè)開區(qū)間（kπ，（k+1）π），k∈Z上都是減函數(shù)，則a＜0，運(yùn)用-α的誘導(dǎo)公式，得到y(tǒng)=cot（ax+

π

4

）=-cot（-ax-

π

4

），求出y=cot（-ax-

π

4

）的減區(qū)間，再由集合的包含關(guān)系，令k=0，即可得到結(jié)論．

解答： 解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，且a∈Z，使得函數(shù)y=cot（

π

4

+ax）在x∈（

π

8

，

5

8

π）上是單調(diào)遞增的，
由余切函數(shù)的單調(diào)性可知：y=cotx在每一個(gè)開區(qū)間（kπ，（k+1）π），k∈Z上都是減函數(shù)，
則a＜0，由y=cot（ax+

π

4

）=-cot（-ax-

π

4

），
由kπ＜-ax-

π

4

＜kπ+π，k∈Z，解得

kπ+ π 4

-a

＜x＜

kπ+ 5π 4

-a

，
再由假設(shè)可得，

kπ+ π 4

-a

≤

π

8

＜

5π

8

≤

kπ+ 5π 4

-a

，
解得，當(dāng)k=0時(shí)，-2≤a≤-2，則a=-2．
所以存在實(shí)數(shù)a且a=-2，使得函數(shù)y=cot（

π

4

+ax）在x∈（

π

8

，

5

8

π）上是單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題和易錯(cuò)題．