Question

如圖，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，點V是圓O所在平面外一點，D是AC的中點，已知AB=2，VA=VB=VC=2．
（1）求證：AC⊥平面VOD；
（2）VD與平面ABC所成角的正弦值；
（3）求三棱錐C-ABV的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）得出AC⊥VO，AC⊥VD即可證明．（2）根據棱錐V-ABC的體積為V_V-ABC=

1

3

S_△ABC•VO=

1

3

×1×

3

可求得．

解答： 解：（1）∵VA=VB，O為AB中點，
∴VO⊥AB，連接OC，在△VOA和△VOC中，OA=OC，VO=VO，VA=VC，
∴△VOA≌△VOC，∠VOA=∠VOC=90°，
∴VO⊥0C
∵AB∩OC=0，AB?平面ABC，OC?平面ABC，
∴VO⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，
∴AC⊥VO，
又∵VA=VC，D是AC的中點，∴AC⊥VD，
∵VO?平面VOD，VD?平面VOD，VD∩VO=V，
∴AC⊥平面VOD，
（2）由（1）知VO是棱錐V-ABC的高，且VO=

VA2-AO2

=

3

．
又∵點C是弧的中點，∴CO⊥AB，且CO=1，AB=2，
∴三角形ABC的面積S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×2×1=1，
∴棱錐V-ABC的體積為V_V-ABC=

1

3

S_△ABC•VO=

1

3

×1×

3

故棱錐C-ABV的體積為

3

3

，

點評：本題考查了直線與平面的垂直問題，體積計算問題，屬于中檔題，思路要清晰，認真．