【題目】某無(wú)縫鋼管廠只生產(chǎn)甲、乙兩種不同規(guī)格的鋼管，鋼管有內(nèi)外兩個(gè)口徑，甲種鋼管內(nèi)外兩口徑的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度分別為和，乙種鋼管內(nèi)外兩個(gè)口徑的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度分別為和.根據(jù)長(zhǎng)期的生產(chǎn)結(jié)果表明，兩種規(guī)格鋼管每根的長(zhǎng)度都服從正態(tài)分布，長(zhǎng)度在之外的鋼管為廢品，要回爐熔化，不準(zhǔn)流入市場(chǎng)，其他長(zhǎng)度的鋼管為正品.

（1）在該鋼管廠生產(chǎn)的鋼管中隨機(jī)抽取10根進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1根為廢品的概率；

（2）監(jiān)管部門(mén)規(guī)定每種規(guī)格鋼管的“口徑誤差”的計(jì)算方式為：若鋼管的內(nèi)外兩個(gè)口徑實(shí)際長(zhǎng)分別為，標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)分別為，則“口徑誤差”為，按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)，其中“一級(jí)品”“二級(jí)品”“合格品”的“口徑誤差”的范圍分別是（正品鋼管中沒(méi)有“口徑誤差”大于的鋼管），現(xiàn)分別從甲、乙兩種產(chǎn)品的正品中各隨機(jī)抽取100根，分別進(jìn)行“口徑誤差”的檢測(cè)，統(tǒng)計(jì)后，繪制其頻率分布直方圖如圖所示：

　　　　甲種鋼管　　　　　　　　　　　　　　　乙種鋼管

已知經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)甲種鋼管，其中“一級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.3，“二級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.18，“合格品”的利潤(rùn)率為0.1；經(jīng)銷(xiāo)乙種鋼管，其中“一級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.25，“二級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.15，“合格品”的利潤(rùn)率為0.08，若視頻率為概率.

（�。┤艚�(jīng)銷(xiāo)商對(duì)甲、乙兩種鋼管各進(jìn)了100萬(wàn)元的貨，和分別表示經(jīng)銷(xiāo)甲、乙兩種鋼管所獲得的利潤(rùn)，求和的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此分析經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)兩種鋼管的利弊；

（ⅱ）若經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃對(duì)甲、乙兩種鋼管總共進(jìn)100萬(wàn)元的貨，則分別在甲、乙兩種鋼管上進(jìn)貨多少萬(wàn)元時(shí)，可使得所獲利潤(rùn)的方差和最�。�

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，，.

【答案】（1）；（2）（�。�，，，利弊見(jiàn)解析；（ⅱ）甲種鋼管上投資25萬(wàn)元，在乙種鋼管上投資75萬(wàn)元

【解析】

（1）結(jié)合題意，由正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）（�。└鶕�(jù)題意，求解分布列，再根據(jù)分布列求解期望和方差即可；

（ⅱ）構(gòu)造方差和的函數(shù)，根據(jù)方差的運(yùn)算性質(zhì)，利用已知求函數(shù)的最小值即可.

（1）由正態(tài)分布可知，抽取的1根鋼管的長(zhǎng)度在之內(nèi)的概率為0.9974，

則這10根鋼管的長(zhǎng)度全在內(nèi)的概率為，

則這10根中至少有1根為廢品的概率約為.

（2）（�。┯衫麧�(rùn)率和投額可得可為30萬(wàn)元、18萬(wàn)元、10萬(wàn)元，

可為25萬(wàn)元、15萬(wàn)元、8萬(wàn)元.

又由直方圖可得對(duì)應(yīng)的頻率為0.2、0.5、0.3和0.2、0.8、0，

所以隨機(jī)變量的分布列為

（萬(wàn)元）

30

18

10

0.2

0.5

0.3

（萬(wàn)元），

.

隨機(jī)變量的分布列為

（萬(wàn)元）

25

15

8

0.2

0.8

0

（萬(wàn)元），.

經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)甲種鋼管的平均利潤(rùn)18萬(wàn)元大于經(jīng)銷(xiāo)乙種鋼管的平均利潤(rùn)17萬(wàn)元，

但經(jīng)銷(xiāo)甲種鋼管的方差48大于經(jīng)銷(xiāo)乙種鋼管的方差16.

所以經(jīng)銷(xiāo)甲種鋼管的平均利潤(rùn)大，方差也大，相對(duì)不穩(wěn)定；

而經(jīng)銷(xiāo)乙種鋼管的平均利潤(rùn)小，方差也小，相對(duì)穩(wěn)定.

（ⅱ）設(shè)經(jīng)銷(xiāo)商進(jìn)了萬(wàn)元的甲種鋼管，則進(jìn)了萬(wàn)元的乙種鋼管，

令為經(jīng)銷(xiāo)甲種鋼管所獲利潤(rùn)的方差與經(jīng)銷(xiāo)乙種鋼管所獲利潤(rùn)的方差的和，則

.

當(dāng)時(shí)，的值最小.

故在甲種鋼管上投資25萬(wàn)元，在乙種鋼管上投資75萬(wàn)元時(shí)，

可使經(jīng)銷(xiāo)甲種鋼管所獲利潤(rùn)的方差與經(jīng)銷(xiāo)乙種鋼管所獲利潤(rùn)的方差和最小.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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